Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики
Законы сохранения для различных систем дифференциальных уравнений исследуются в большом количестве работ. Авторы этих работ находят законы либо прямыми вычислениями, на основе определения закона сохранения, либо с помощью обобщенных симметрий системы, либо с помощью теоремы Нетер. При изучении законов сохранения для уравнений газовой динамики получены следующие результаты: Е.Д. Терентьевым и Ю.Д. Шмыглевским прямыми вычислениями найдена полная система законов сохранения нулевого порядка для уравнений движения совершенного газа в трехмерном случае; Н.Х. Ибрагимовым для уравнений безвихревого движения политропного газа действием операторов точечных симметрий на классические законы сохранения найдены дополнительные законы сохранения.
С помощью предлагаемого автором метода A-операторов (все обобщенные симметрии системы дифференциальных уравнений являются подмножеством множества ее A-операторов) получены следующие результаты: 1) выполнена классификация n-мерных уравнений безвихревого движения газа по законам сохранения нулевого порядка; найдено новое уравнение состояния, для которого происходит расширение множества законов сохранения; 2) выполнена классификация по законам сохранения нулевого порядка системы уравнений изоэнтропического движения газа; установлено, что новые законы сохранения имеют место только для потенциального изоэнтропического движения газа Чаплыгина; в этом случае число нетривиальных законов сохранения наибольшее, причем, n скалярных законов сохранения являются нелокальными; 3) для системы n-мерных уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука найдены все законы сохранения нулевого порядка (их бесконечное число). Во всех случаях показано, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны найденные новые законы сохранения.
Задача отыскания законов сохранения для нелинейной системы, описывающей плоскопараллельное установившееся безвихревое изоэнтропическое движение газа, с помощью нелокальных переменных: потенциала вектора скорости и функции тока, и перехода на плоскость годографа сводится к задаче отыскания законов сохранения для линейной системы Чаплыгина. Установлено, что множество законов сохранения нулевого порядка, которыми обладает система Чаплыгина, состоит из обусловленных линейностью этой системы и порождаемых операторной формулой Грина, имеющих функциональный произвол законов сохранения, линейных относительно потенциала вектора скорости и функции тока, и нового нелинейного закона сохранения. Оказалось, что указанные линейные законы сохранения для системы Чаплыгина порождают известные, найденные А. И. Рыловым законы сохранения на физической плоскости. Получены все не зависящие от функции тока законы сохранения первого порядка для системы Чаплыгина, порождаемые операторной формулой Грина. Показано, что система Чаплыгина имеет не более трех не зависящих от функции тока неочевидных законов сохранения первого порядка, и их компоненты квадратичны относительно потенциала вектора скорости и его производных. Перечислены все функции Чаплыгина, для которых система Чаплыгина имеет три не зависящие от функции тока закона сохранения первого порядка. Найдены эти законы сохранения.
1. Чиркунов Ю.А. Метод А-операторов и законы сохранения для уравнений газовой динамики // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 2. С. 53-60.
2. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 587–593.
3. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений изоэнтропического движения газа // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51. № 1. С.
To reports list
|
