International Conference
"Modern Problems of Applied Mathematics and Mechanics: Theory, Experiment and Applications", devoted to the 90th anniversary of professor Nikolai N. Yanenko

Шапеев В.П.   Isaev V.  

Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье-Стокса

Reporter: Шапеев В.П.

     Метод коллокаций успешно применялся различными исследователями для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Суть метода заключается в следующем. Приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций. Неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокаций и краевых условий. Уравнения коллокаций – требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокаций), в которой ставится эта задача. Краевые условия получаются из соответствующих условий рассматриваемой задачи, записанных в нескольких точках на границе области. В методе коллокаций записывается ровно столько уравнений, сколько имеется неизвестных. В методе коллокаций и наименьших квадратов (КНК) число уравнений превосходит количество неизвестных, то есть система, из которой ищутся неизвестные коэффициенты, является переопределенной. Для ее решения используется метод наименьших квадратов.
      В данной работе предложен подход построения вариантов метода КНК высокого порядка точности. На его основе созданы новые варианты метода до восьмого порядка включительно для численного решения уравнения Пуассона и уравнений Навье-Стокса. Для исследования возможностей последних проведены расчеты задачи о течении в каверне с движущейся крышкой, которая в настоящее время считается многими исследователями эталонной для численных методов решения уравнений Навье-Стокса. Сравнением с наиболее точными результатами среди опубликованных другими исследователями показано, что новые варианты метода КНК позволяют с высокой точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения. В частности, для центрального вихря в каверне при Re=1000 метод КНК позволил рассчитать его интенсивность (значение функции тока в центре) c точностью 2*10^{-8}.
      Кроме упомянутых выше вариантов метода был также разработан консервативный метод КНК для численного решения стационарного уравнения теплопроводности.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ – грант 10-01-00575-а и интеграционного проекта 26 СО РАН.