Казаков А.Л.   Лемперт А.А.  

Об одной краевой задаче для одномерного уравнения нелинейной фильтрации

Докладчик: Казаков А.Л.

Для уравнения нелинейной фильтрации (porous medium equation) изучение поведения ненулевого решения вблизи фронта распространения возмущения по нулевому фону и его взаимосвязь с законом движения фронта является актуальной задачей, которая интересна как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений. Данное уравнение имеет параболический тип, однако, если искомая функция обращается в нуль, слагаемое, содержащее старшую производную, также зануляется, и параболический тип уравнения вырождается. Вследствие этого данный случай является особым и в нем, в частности, возможно распространение возмущений с конечной скоростью, т.е. параболическое уравнение приобретает свойства, обычно присущие гиперболическим. Впервые подобное свойство для нелинейных тепловых волн было обнаружено еще Я.Б. Зельдовичем.
В работе для задачи о движении фронта фильтрации по нулевому фону доказана теорема существования и единственности решения в классе аналитических функций. Решение построено в явном виде, получены рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов ряда, сходимость ряда доказана методом мажорант. Предложена процедура построения фронта фильтрации. Полученный результат обобщает две известные теоремы, доказанные раннее в научной школе А.Ф. Сидорова.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проекты № 11-07-00245, 12-07-33045.