Андреев В.К.  

Задача о нестационарном движении жидкости со свободной границей в точной постановке

Доклад посвящен обзору работ по однозначной разрешимости нелинейной задачи Коши – Пуассона о волнах на воде для уравнений идеальной и вязкой жидкости.
В первой части рассматриваются двумерные потенциальные волны на воде. Задача о таких волнах сводится к эволюционным системам с нелокальными операторами. Вводятся шкалы банаховых пространств аналитических по пространственным переменным функций и в них приводятся результаты о корректности задачи Коши – Пуассона. Обсуждаются вопросы об оценке времени существования решений.
Во второй части доклада анализируется задача о волнах на воде в классе функций конечной гладкости. Для плоских движений формулируются условия её однозначной разрешимости в случае жидкости конечной и бесконечной глубины. Доказывается, что задача о волнах на воде для идеальной жидкости корректно поставлена, когда производная по нормали от давления строго отрицательна. Обсуждаются физические следствия этого ограничения для нелинейных волн.
В третьей части приведены результаты однозначной разрешимости задачи Коши – Пуассона в трёхмерной постановке в классе функций конечной гладкости. В этом случае методы исследования двумерных задач не применимы. Здесь используется математический аппарат, основанный на теореме о неявном операторе, развитый Нэшем и Мозером.
В четвёртой части изложены качественные свойства решений уравнений Навье – Стокса, описывающих движения со свободной границей, в частности, и волны на воде. Приведены условия, при которых волны затухают со временем по степенному закону.
Представлены новые результаты автора, связанные с построением точных решений в задаче о волнах на воде и их устойчивости.
Работа выполнена при поддержке СО РАН, междисциплинарный интеграционный проект № 44.