Шокина Н.Ю.  

О некоторых проблемах конструирования разностных схем на подвижных сетках

На примерах для уравнения переноса с постоянным коэффициентом рассмотрена процедура монотонизации явных двухслойных схем с помощью схемного параметра, выбираемого на основе исследования дифференциальных приближений схем. Изучено влияние постоянного, ``квазипостоянного'' и переменного параметра на монотонность схем. Для постоянного параметра построен пример схемы с отсутствием дисперсии в решении второго дифференциального приближения, но не сохраняющей монотонность численного решения. Приведен пример параметра, при котором явная двухслойная схема на подвижной неравномерной сетке является монотонной. Показана связь согласованной аппроксимации якобиана и скоростей движения узлов сетки с геометрическим законом сохранения. Предложен новый подход к построению  дивергентных схем на подвижных сетках. Исследованы  особенности построения сеток, адаптирующихся к разрывным решениям. На примере метода эквираспределения рассмотрены вопросы разрешимости уравнений для сетки и качества адаптации сетки к решению. На примере схемы предиктор-корректор с постоянными коэффициентами показано, что TVD-схемы могут увеличивать количество экстремумов. Предложено использование неявной процедуры сглаживания управляющей функции, что позволяет лучше воспроизводить разрывное решение задачи.

Далее схема предиктор–корректор обобщена для двумерного линейного уравнения переноса с переменными коэффициентами. Описан способ аппроксимации контравариантных компонент скорости, гарантирующий выполнение уравнения неразрывности для сеточных функций на подвижных криволинейных сетках. Указан выбор схемных параметров, при котором сохраняется монотонность численного решения. Доказано выполнение разностного аналога геометрического закона сохранения, гарантирующее сохранение схемой предиктор-корректор постоянной функции. Предложена модификация классического метода эквираспределения построения подвижных сеток, позволяющая избежать возникновения осцилляций траекторий узлов  и резкого изменения площадей  соседних ячеек сетки. Указан метод построения сетки на границе подвижной области. Предложено использование неявной процедуры двумерного сглаживания управляющей функции.