Садовский В.М.   Садовская О.В.   Варыгина М.П.  

Термодинамически согласованная система уравнений динамики моментной упругой среды

Докладчик: Варыгина М.П.

В теории малых упругих деформаций широко известна модель моментного континуума Коссера, которая предназначена для описания механического поведения деформируемых материалов с микроструктурой (грунтов, горных пород, сыпучих, пористых, микроразрушенных и микрополярных сред). В ней в отличие от классической теории упругости, основанной на представлении о среде как о континууме материальных точек, сплошная среда является континуумом материальных частиц – абсолютно твердых тел малого объема, обладающих вращательными степенями свободы. Целью настоящей работы является приведение уравнений, моделирующих конечные термоупругие деформации пространственной среды с независимыми вращениями частиц, к термодинамически согласованной по Годунову системе законов сохранения. Такая процедура является исключительно важным этапом в исследовании математической модели, поскольку формулировка в виде термодинамически cогласованной системы позволяет привести ее к симметрической системе гиперболического типа, получив простое доказательство единственности и непрерывной зависимости решения задачи Коши и краевых задач с диссипативными граничными условиями от начальных данных. На основе этой системы формулируется понятие обобщенного решения, допускающего сильные разрывы скоростей и напряжений (контактные разрывы, ударные волны). Она дает также возможность применения хорошо разработанных эффективных численных методов к исследованию модели. К термодинамически cогласованной системе законов сохранения приведены общие уравнения газовой динамики и магнитной гидродинамики, уравнения линейной и нелинейной теории упругости и некоторые специальные модели механики. Вопрос о приведении нелинейной системы уравнений моментной теории упругости к такой форме нельзя считать полностью решенным, поскольку кроме формальной записи уравнений через производящие потенциалы требуется еще, чтобы производящий потенциал, фигурирующий под производной по времени, представлял собой сильно выпуклую функцию относительно параметров деформированного состояния среды.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11–01–00053) и Комплексной программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 18 “Алгоритмы и математическое обеспечение для вычислительных систем сверхвысокой производительности”.