Классическая изопериметрическая задача рассматривает поиск фигуры на плоскости максимальной площади при заданной длине границ. Такой фигурой является круг. Другой такой задачей является поиск многоугольника максимальной площади при заданных сторонах. Существуют и другие постановки изопериметрических задач, связанные с объемами и площадями поверхности тел вращений.
В данной работе рассматриваются изопериметрические отрезы от различных областей на плоскости (не обязательно выпуклых). Частными случаями таких отрезов являются задача Дионы и отрез максимальной площади от некоторого фиксированного угла кривой c заданной длиной. Из решения классической задачи следует, что отрезы имеют форму дуги окружности. При этом можно рассматривать три варианта задач: с фиксацией двух концов отреза, с фиксацией одного конца отреза и без фиксации концов отреза. В каждом случае решение сводится к поиску радиуса дуги окружности и определению центра этой окружности. Для произвольной замкнутой ограниченной области приведенные задачи являются корректными, если длина линии отреза не превышает меньшего диаметра этой области.
В нашем случае будут рассматриваться области с кусочно-гладкими границами заданными аналитически, а так же области сложной формы аппроксимированные многоугольниками с достаточно большим количеством вершин. В зависимости от формы задания области будут предложены точные или приближенные решения.
Основным результатом работы является построение алгоритма поиска максимального по площади отреза (прямолинейного или произвольного) для заданной области. Алгоритм реализован в виде вычислительной программы. Проведенные численные эксперименты подтверждают правильность полученных результатов.
Файл тезисов: | Korolenko_tes.doc |